गणित म्हणजे 'का '? | GANIT MAJHE KAY?

संख्येलाही 3 नं भाग जातो. अन्यथा नाही. (4) 9 ची कसोटी. संख्येतील अंकांच्या बेरजेला 9 नं भाग जात असेल तर संख्येलाही 9 नं भाग जातो. अन्यथा नाही. पहिल्या दोन कसोट्यांमागची कारणं समजणं फारसं कठिण नाही. पुढच्या कसोट्यांमागची कारणं समजून घेण्याकरता आपल्याला काही प्रमेयांचा आधार घ्यावा लागेल. कोणती? ही प्रमेयं महत्त्वाची आहेत. त्या प्रमेयांचा उपयोग सर्वच कसोट्यांच्या मागची कारणं समजण्याकरता होईल, इतकी ती महत्त्वाची आहेत. '. प्रमेय 1: जर|9 नं8ष आणि ७ ला भाग जात असेल तर७ नं 811 लाही भाग जातो. टीप (1) ह्या सर्व प्रमेयांतील संख्या पूर्णांकच असणार आणि भाजक संख्या धनच असणार, हे लक्षात ठेवा. टीप (2) 3 नं 12 ला भाग जातो म्हणजे काय? तर 12 ही 3 ची पूर्ण पट असते. निराळ्या शब्दांत, 12 ही संख्या 3 गुणिले एक पूर्ण संख्या (इथ 4) अशी लिहिता येते. व्यापक अर्थानं बोलायचं तर 8 न॑ ७ ला भाग जातो, म्हणजे 0७-80 असं लिहिता येईल अशी एक पूर्णांक संख्या ८ असते. शालेय पातळीवर भाग जाणे ह्या कल्पनेच्या ह्या अर्थाचा फारसा ऊहापोह केला जात नाही. कारण तेवढ्या प्रमाणात त्यांची गरज नसते, हे होय. पण, आता ह्या प्रमेयाच्या सिद्धतेकरता हा अर्थ प्रकर्षानं वापरावा लागतो, हे लक्षात घ्या. म्हणून भागाकार ही गुणाकाराच्या उलट क्रिया आहे. टीप (3) हा अर्थ आपण दोन्ही त-हेनं वापरणार. म्हणजे जर्‌ 8नं७0७ला भाग जात असेल तर वरच्या प्रमाणं ८ मिळेल. आणि उलट, जर ७ << 80 असा ८ मिळाला असेल तर ७ न॑ ७ ला भाग जातो असं म्हणणार. तुम्हाला माहीत असलेल्या शब्दांत सांगायचं तर मूळ गुणधर्म आणि त्याचा व्यत्यास. सिद्धता: 0७नं 8 ला आणि ७ ला भाग जातो म्हणून 8८300) आणि 0७-७४ असं लिहिता येईल, असे ७,४ हे दोन पूर्णांक असतात. त्यांची बेरीज केल्यास 8110 च ७10४ र्‌ (1-४) मिळतं. पण, 0*४ हाही पूर्णांकच आहे. म्हणून 0 नं ७१७ ला भाग जातो. म्हणजे 8, ७ ची 0 पट आणि ७, ४ पट आहे. म्हणून 8710 <्‌ ७0 १ ७४ र्‌ ]क्‍0(प्*४) <७ ची 1४ पट आहे, असं ठरतं. प्रमेय 2: जर] नं 9 आणि ७ ला भाग जात असेल तर ७ नं 9-0 लाही भाग 8 उ जातो. ह्या प्रमेयाची सिद्धता वरच्याप्रमाणंचे आहे. मुख्य कारण काय? प्रमेय 3: जर ७ धन पूर्णांक संख्या असून तिनं 8-0 आणि ७ ला भाग जात असेल तर ७ नं 8 लाही भाग जातो. दह्याची सिद्धता अगदीच सोपी आहे. कारण 8-(8-0)10 असं आपण लिहू शकतो. आणि नंतर प्रमेय 1 चा उपयोग करू शकतो. प्रमेय 4: जर | धन पूर्णांक संख्या असून तिनं 8-0 आणि ७ ला भाग जात असेल तर ७ नं 8 लाही भाग जातो. सिद्धता सोपी आहे. 8-(81-9)-0 असं आपण लिहू शकतो. उपप्रमेयः: आपण असंही म्हणू शकतो की, जर ७ नं ७-0 ला भाग जात असेल, पण ७ ला जात नसेल तर ७ नं 8 ला भाग जाणार नाही. टीप (4): असा उलट निर्णय सांगणारं हे प्रमेय आपल्याला का लागतं, तेही समजून घ्या. 3 च्या किंवा 9 च्या कसोटीत 'संख्येतील अंकांच्या संख्येला (कसोटी संख्या) 3 नं भाग जात नसेल तर दिलेल्या संख्येलाही 3 नं भाग जात नाही,' असं उलटही आपली कसोटी सांगते. त्यामागचं कारणही कळलं पाहिजे. म्हणून हे उपप्रमेय मुद्दाम निराळं मांडलं आहे. सिद्धता: (क्रमविरुद्ध) समजा जर ७ नं 8 ला भाग जात असेल तर मग प्रमेय २ अनुसार, ७ नं 8-(8-0)₹0 लाही भाग जाईल. पण, हे तर दिलेल्या '0 ला भाग जात नाही,' ह्या माहितीशी विसंगत. * आता आपण विभाज्यतेच्या आणखी काही कसोट्या आणि वरच्यातल्या शेवटच्या दोन व इतर कसोट्यांच्यामागची कारणं पाहू. 7 ची कसोटी: उदाहरण म्हणून आपण 168 ही संख्या घेऊ. हिला 7 नं भाग जातो की नाही, हे ठरवणारी कसोटी पुढीलप्रमाणं - दशक-एकक इतका भाग (म्हणजे 68) तोडून काढू. व राहिलेला भाग नवीन संख्या म्हणून समजू. म्हणजे 68 हा एक भाग व राहिलेला 1 हा (100 नव्हे) दुसरा भाग. दुस-या भागाची दुप्पट करून पहिल्या भागात मिळवू. उत्तर 70. ह्या संख्येला आपण कसोटी-संख्या म्हणू. जर कसोटी-संख्येला 7 नं भाग जात असेल तर मूळच्या संख्येलाही 7 नं भाग जातो. आणि कसोटी- संख्येला 7 नं भाग जात नसेल तर मूळच्या संख्येलाही जात नाही. 70 ला 7 नं भाग जातो. म्हणून 168 लाही 7 न॑ भाग जातो.