गणित फुले | GANIT PHULE

टीप (4) : एखाद्या संज्ञेची कोणतीही व्याख्या ही त्या संज्ञेचा एखादा गुणधर्मच असतो. वर्तुळाच्या वरीलपैकी प्रत्येक व्याख्येमध्ये वर्तुळाचा एकेक वेगवेगळा गुणधर्म वापरला आहे. कोणत्याही संझज्ञेच्या व्याख्येच्या बाबतीत, व्याख्येसाठी घेतलेला गुणधर्म व त्याचा व्यत्यास हे दोन्ही सत्य असतात. कोणत्याही लिखाणातील व त्याचप्रमाणे या लेखातील व्याख्यांच्या बाबतीत हे अर्थातच खरे आहे. टीप (5) : व्याख्या (01) किंवा (02) किंवा (08) चे नीट आकलन केल्यास हे लक्षात येईल की व्याख्येत उल्लेखिलेले सर्व बिंदू [ व्याख्या (01) मधील दिलेल्या बिंदूपासून समान अंतरावर असणारे, आणि व्याख्या (02) मधील दिलेल्या दोन बिंदूंपासून असलेल्या आपल्या अंतरांचे, गुणोत्तर सतत आकृती 5 कायम ठेवून फिरणाऱ्या बिंदूंचा बिंदूपथ, तसेच व्याख्या 08 मधील बिंदूसंच ] हे त्या वर्तुळाच्या परिघावर असतात. अशातऱ्हेने फक्त परिघावरील सर्व बिंदूंना मिळून एकत्रितपणे वर्तुळ म्हणतात. आकृती 5 मध्ये ? हा त्या वर्तुळाचा बिंदू आहे पण परिघाच्या आतील कोणताही बिंदू (3 सारखा अथवा केंद्रबिंदू 0 हा देखील) त्या वर्तुळाचा भाग नाही. (उपमा द्यायची तर असे म्हणता येईल : ज्याप्रमाणे एखादा माणूस जो सदरा घालतो तो त्या माणसाचा भाग नसतो. तो सदरा त्या माणसाचा असतो इतकेच, पण तो त्या माणसाचा भाग नसतो, त्याचप्रमाणे00 हा आकृती 4 मधील वर्तुळाचा केंद्रबिंदू आहे पण तो त्या वर्तुळाचा भाग नाही. वर्तुळ म्हणजे फक्त त्याच्या परिघावरील सर्व बिंदूंचा संच) 3. मूळसंख्या (किंवा अविभाज्य संख्या) : मूळसंख्या ही गणितातील खूपच महत्त्वाची आणि गणितज्ज्ञांची प्रिय संकल्पना आहे. मूळसंख्येची जास्त प्रचारात असलेली व्याख्या अशी : 1 वगळता जो धन पूर्णांक1 व तो पूर्णांक यांच्या व्यतिरिक्त इतर कोणत्याही धन पूर्णांकाने नि:शेष भागला जात नाही (किंवा ज्या धन पूर्णांकाचे 1 व तो पूर्णांक यांच्या शिवाय दुसरे कोणतेही धन अवयव नसतात) त्या धन पूर्णांकाला मूळसंख्या म्हणतात. ...- (09) मूळसंख्येची दुसरी व्याख्या अशी आहे. 1 वगळता ज्या धन पूर्णांक ७ ला 1, -1, ७, -0 या चार पूर्णांकाव्यतिरिक्त इतर कोणत्याही पूर्णांकाने नि:शेष भाग जात नाही (म्हणजेच ज्या धन पूर्णांक ७ चे 1, -1, ७, -0 या चारी व्यतिरिक्त दुसरे कोणतेही अवयव नसतात), त्या धन पूर्णांक ७ ला मूळसंख्या म्हणतात. ......... 28/ गणित फुले (09) व (010)या व्याख्यांची समतुल्यता स्पष्ट आहे. (009) मध्ये '“धनपूर्णांकाने”' व “धन अवयव' असा स्पष्ट उल्लेख आहे. (010) मध्ये नुसतेच “पूर्णांकाने* व *अवयव' असे म्हटले आहे त्यामुळे व्याख्यांच्या विधानात फरक आहे. मूळसंख्येची तिसरी व्याख्या पुढीलप्रमाणे दिली जाते. ज्या धन पूर्णांकाला 1 शिवाय त्याच्याहून लहान एकही धन अवयव नसतो त्या धनपूर्णांकाला मूळसंख्या म्हणतात. ................................ (911) (011) या व्याख्येत “त्याच्याहून लहान अवयव' विचारात घ्यायचा असल्याने (09) या व्याख्येत उल्लेखिल्याप्रमाणे 1 समवेत “तो पूर्णांक* ही अवयव आहे का हे पाहण्याची आवश्यकता नाही. त्याचप्रमाणे (09) च्या सुरूवातीस सांगितल्यानुसार '1 वगळता' असा उल्लेख (011) मध्ये करण्याची जरूर नाही कारण कोणत्याही धन पूर्णांकाचा 1 पेक्षा लहान धन अवयव नसतोच. टीप (6) : बरेच विद्यार्थी व मुलाखतीस आलेले उमेदवार (09) किंवा (010) ही व्याख्या देताना 11 वगळता” याचा उल्लेख करण्यास विसरतात. त्यामुळे व्याख्या (011) ही अधिक चांगली वाटते. 4. सापेक्ष मूळसंख्या (6॥ब४८।४ छत16 प्रधा19615 किंवा ८०७165) : सापेक्ष मूळसंख्यांची एक व्याख्या अशी आहे : जर दोन धनपूर्णांकामध्ये 4 1 व्यतिरिक्त एकही समान अवयव नसेल तर त्या धनपूर्णांकांना (एकमेकांशी) सापेक्ष मूळसंख्या म्हणतात. ........ (0912) उदाहरणार्थ, 7 व 12 या सापेक्ष मूळसंख्या आहेत. 9 व 25 याही सापेक्ष मूळसंख्या आहेत. तसेच 15 व 28 याही सापेक्ष मूळसंख्या आहेत. कोणत्याही दोन मूळसंख्या या साहजिकच (एकमेकांशी) सापेक्ष मूळसंख्या असतात. सापेक्ष मूळसंख्यांची आणखी एक व्याख्या अशी आहे : ज्या दोन धनपूर्णांकांचा मसावि 1 आहे त्या दोन धनपूर्णांकांना (एकमेकांशी) सापेक्ष मूळसंख्या म्हणतात. .........................................५-०:- (913) ज्या धन पूर्णांकांमध्ये - 1 व्यतिरिक्त एकही समान अवयव नसतो त्यांचा मसावि 1 हाच असतो. त्यामुळे (012) व (013) या दोन्ही व्याख्या समतुल्य आहेत है स्पष्ट होते. गणित फुले /29